ナンクル力学系

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Symmetry Groups and Their Applications の Chapter 1 を読んだのでメモ

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千葉さんのテキスト (群論は輪っかの理論)を中途半端に読んだあとに読んだ. Symmetry Groups and Their Applications (by Willard Miller) の Chapter 1.

1.1 Abstract Groups

  • 定義 (群の公理)
    • 集合と演算の組が群
    • 演算は閉じてる
    • 演算は次の性質を満たす:
      1. 単位元の存在
      2. 逆元の存在
      3. 結合律
    • 3つの性質 + 演算が閉じていること,が群の性質らしい
    • 「演算が閉じていること」を 0番目の性質とか言いたい気分
  • 具体的な群の例の話

1.2 Subgroups and Cosets

  • left coset: gH =\{ gh: h \in H \}
    • HG の 部分群
  • Theorem 1.2 が Lagrange’s theorem
  • h \in G is conjugate to k \in G:
    • 共役
    • k = g h g^{-1} なる g \in G が存在する
    • equivalence relation (同値関係:反射律, 対称律, 推移律) を満たす
  • 同値関係が成り立つものどうしで conjugacy classes が定義される
  • G の部分群 H が部分群 Kconjugate
    • K = g H g^{-1} なる g \in G が存在する
    • K g = g H なる g \in G が存在する
  • G の部分群 Nnormal
    • 正則部分群
    • N = gNg^{-1} ,\ \forall g \in G
    • gN = Ng,\ \forall g \in G
  • factor group G/N, cyclic とかの話

1.3 Homomorphisms, Isomorphisms, and Automorphisms

  • Homomorphism: \mu
    • \mu : G \to G'\mu(g_1 g_2) = \mu (g_1) \mu (g_2) を満たす
  • Isomorphisms
    • homomorphism1-1 (単射) かつ onto (全射)
  • Automorphisms
    • isomorphism の定義域が自分自身
    • すべての automorphisms の集合は群 A(G) をなす
  • こんな感じ:
    • Homomorphisms
      • Isomorphisms
        • Automorphism
  • ほかに, kernel が部分群になる話とか

1.4 Transformation Groups

  • permutation of X
    • 定義: 集合 X からそれ自身への全単射な写像
    • S_X: すべての permutation の集合
      • 群をなす
      • full symmetric group on X
      • これの要素を act on X とか operate on X とか 呼ぶ
  • transformation (permutation) group on X:
    • 変換群
    • S_X の部分群
  • x is G-equivalent to y (x \sim y):
    • 定義: g x = y がある g \in G について成立
    • \sim は同値関係
  • G-orbits (or just orbits):
    • 同値関係 \sim のもとでの equivalence classes (同値類)
  • K = \{ g \in G: g(Y) \subseteq Y \} は群をなす
    • ただし,
      • YX の任意の部分集合
      • GX の変換群
    • …らしいんだけど,証明できない
    • というか,これ反例じゃないのかなあ:
      • X = R, Y = Z, G を定数倍の変換すべての集合とする
      • i \in Z について,例えば, g(x) = 2x の逆写像 g^{-1}(x) = x/2g^{-1}(Y) \subseteq Y を満たさないので K には含まれない
    • なんか勘違いしている?
  • isotropy subgroup of G at x
    • 定義: G^x = \{ g \in G: gx = x \}
  • Theorem 1.6
    • x を含む G-orbitsG^xleft coset が1-1対応する.
  • 抽象的な群としては同じでも,幾何的・物理的にはちがう,という話
  • このあとの left regular representation がよく分からなくてスルーした(ぉ

1.5 New Groups from Old Ones

  • direct product (直積) でふたつの群 G, G' から新しい群をつくる
  • G \times \{e'\}G とみなして良いよ,という話
  • だったら,群 G
    1. ふたつの部分群 H, K の元が可換 hk = kh で,
    2. すべての g \in Gg = hk とかける

    なら, GH, Kdirect product (直積)だと言ってしまおう

  • semidirect product
    • direct product の一般化
    • \langle h,k \rangle \langle h',k' \rangle = \langle h v_k(h'), k k' \rangle
    • ただし,写像 \mu: k \to v_k
      • homomorphism で,
      • \mu: K \mapsto A(H)
        • ただし A(H)H の automorphism group
    • なんか式がきたないけど,群の公理を満たすことを示すと なるほどなあと納得できるかんじ
    • すべての k \in Kv_k = 1 なら direct product と等価
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Written by tkf

February 24, 2009 at 10:48 pm

Posted in 数学

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