ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

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なぜ増加列の極限は全体の和集合

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か分かった.というか,定義だったらしいw

ルベーグ積分30講(志賀浩二)の第11講測度空間より.

まず,集合列(増加列と減少列)の極限の定義は以下:

  • 集合の増加列 A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_n \subset \cdots に対し
    極限集合:\lim A_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
  • 集合の減少列 A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots に対し
    極限集合:\lim A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n

しかし,これを包括する集合列の極限の定義があって,それは以下:

  • 集合列
    • 上極限集合:\overline \lim A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty}  A_k
    • 下極限集合:\underline \lim A_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k
    • \overline \lim A_n = \underline \lim A_n のとき,集合列 \{ A_n \} は収束し
      \lim A_n := \overline \lim A_n = \underline \lim A_n
      と表す.

最初の二つの定義がすぐ上の定義に含まれていることはすぐに分かる.増加列に関しては

  • 増加列だから,
    • \bigcup_{k=1}^{\infty}  A_k \subset \bigcup_{k=n}^{\infty}  A_k (n \ge 1)
      より \overline \lim A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}  A_n
    • \bigcap_{k=n}^{\infty}  A_{k} = A_n
      より \underline \lim A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty}  A_n
  • ゆえに \lim A_n = \overline \lim A_n = \underline \lim A_n

減少列についても同じ感じ(だと思うw

Written by tkf

November 3, 2008 at 2:58 pm

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距離空間上のコンパクト性とか復習した

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「ルベーグ積分30構」を読んでて、コンパクト性を用いる証明が出てきたので昔(一回だけ)読んだ「位相への30構」を部分的に復習した。(ここで30構シリーズ売り込んでるわけではないよw 読みやすいけどね。)

ちょっと気になったのが有限被覆性の定義の部分。

有限被覆性:可算開被覆 \{O_1,O_2,\cdots,O_n,\cdots\} によって、X

X = O_1 \bigcup O_2 \bigcup \cdots O_n \bigcup \cdots

と蔽われているならば、この中からとった適当な有限個の \{O_{i_1} ,O_{i_2},\cdots,O_{i_s} \} によって、すでにXは蔽われている:

X = O_{i_1} \bigcup O_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup O_{i_s}

位相への30構(志賀浩二)、p123

と定義されてる。そしてこの後、平面は可算無限個の被覆が必要だから有限被覆性は成り立たないよ、というお話に続く。

そこで、「あれ?O_i として平面自体をとれば、開集合なんだから有限被覆性成り立ってしまうんじゃないか?」という疑問にぶちあたる。

続きを読むと、どうやら

有限被覆性“どんな”可算開被覆 \{O_1,O_2,\cdots,O_n,\cdots\} “をとっても”X

X = O_1 \bigcup O_2 \bigcup \cdots O_n \bigcup \cdots

と蔽われているならば、この中からとった適当な有限個の \{O_{i_1} ,O_{i_2},\cdots,O_{i_s} \} によって、すでにXは蔽われている:

X = O_{i_1} \bigcup O_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup O_{i_s}

“斜体部”を変更

ということっぽい。つまり、可算開被覆としてとれる集合のセット(集合族)すべてについて、そのセットから有限個の被覆を選ぶことが出来ることを保証されてなくてはいけない。それが有限被覆性。

こう書くと、ひとつ反例上げただけじゃ意味ないよね、ってのはすぐ分かる。

上のような変更を加えなくても定義の意味は同じだけど(だよね?)、「どんな〜でも」って書いてくれたほうが勘違いしなくて済んだと思う。なんか、数学やってると普通に出てくるあたりまえな話。ちょっと数学勉強した気分になったw

位相への30構は講義が結構独立してるので、部分的に復習するのは楽しい。

Written by tkf

October 30, 2008 at 11:30 pm

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