ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

距離空間上のコンパクト性とか復習した

with one comment

「ルベーグ積分30構」を読んでて、コンパクト性を用いる証明が出てきたので昔(一回だけ)読んだ「位相への30構」を部分的に復習した。(ここで30構シリーズ売り込んでるわけではないよw 読みやすいけどね。)

ちょっと気になったのが有限被覆性の定義の部分。

有限被覆性:可算開被覆 \{O_1,O_2,\cdots,O_n,\cdots\} によって、X

X = O_1 \bigcup O_2 \bigcup \cdots O_n \bigcup \cdots

と蔽われているならば、この中からとった適当な有限個の \{O_{i_1} ,O_{i_2},\cdots,O_{i_s} \} によって、すでにXは蔽われている:

X = O_{i_1} \bigcup O_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup O_{i_s}

位相への30構(志賀浩二)、p123

と定義されてる。そしてこの後、平面は可算無限個の被覆が必要だから有限被覆性は成り立たないよ、というお話に続く。

そこで、「あれ?O_i として平面自体をとれば、開集合なんだから有限被覆性成り立ってしまうんじゃないか?」という疑問にぶちあたる。

続きを読むと、どうやら

有限被覆性“どんな”可算開被覆 \{O_1,O_2,\cdots,O_n,\cdots\} “をとっても”X

X = O_1 \bigcup O_2 \bigcup \cdots O_n \bigcup \cdots

と蔽われているならば、この中からとった適当な有限個の \{O_{i_1} ,O_{i_2},\cdots,O_{i_s} \} によって、すでにXは蔽われている:

X = O_{i_1} \bigcup O_{i_2} \bigcup \cdots \bigcup O_{i_s}

“斜体部”を変更

ということっぽい。つまり、可算開被覆としてとれる集合のセット(集合族)すべてについて、そのセットから有限個の被覆を選ぶことが出来ることを保証されてなくてはいけない。それが有限被覆性。

こう書くと、ひとつ反例上げただけじゃ意味ないよね、ってのはすぐ分かる。

上のような変更を加えなくても定義の意味は同じだけど(だよね?)、「どんな〜でも」って書いてくれたほうが勘違いしなくて済んだと思う。なんか、数学やってると普通に出てくるあたりまえな話。ちょっと数学勉強した気分になったw

位相への30構は講義が結構独立してるので、部分的に復習するのは楽しい。

Advertisements

Written by tkf

October 30, 2008 at 11:30 pm

Posted in 数学

Tagged with ,

One Response

Subscribe to comments with RSS.

  1. […] 証明には有開閉集合のもつコンパクト性(つまり有限被覆性)を用いた.(復習ログ) […]


Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: