ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

ルジャンドル変換のまとめ。

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ルジャンドル変換とルジャンドル逆変換を導く仮定を表にしてみると、双対性が分かりやすくなるのではと思ったのでまとめてみた。

  ルジャンドル変換 x \mapsto y,\ F(x) \mapsto G(y) ルジャンドル逆変換 y \mapsto x,\ G(y) \mapsto F(x)
仮定(逆変換の時は、自動的に成り立つ): \frac{\partial^2 F}{\partial x^i  \partial x^j} dx^i dx^j
が局所的に正値定符号
\frac{\partial^2 G}{\partial y^i  \partial y^j} dy^i dy^j \\ = \frac{\partial \psi^i}{\partial y^j} dy^j d \frac{\partial F}{\partial x^i} \\ = \frac{\partial^2 F}{\partial x^i  \partial x^j} dx^i dx^j
より、局所的に正値定符号
変換に使う関数の定義: \Phi (y,x) := y_i x^i - F(x) \Psi (x,y) := y_i x^i - G(y)
定義した関数が極致をとる条件: \frac{\partial \Phi}{\partial x^i}=y_i - \frac{ \partial F}{ \partial x^i}=0
\therefore \  y_i = \frac{ \partial F}{ \partial x^i}(x)
\frac{\partial \Psi}{\partial x^i}=y_i - \frac{ \partial G}{ \partial x^i}=0
\therefore \ x_i = \frac{ \partial G}{ \partial y^i}(y)
上式を逆に解く: x^i = \psi^i(y) y^i = \phi^i(x)
変換後の関数の定義 G(y) := \Phi (y,\psi (y)) \\ = y_i \psi^i(y) - F(\psi(y)) F(x) := \Psi (x,\phi (x)) \\ = x_i \phi^i(x) - G(\phi(x))
その微分: dG(y) := \psi^i(y) dy_i \\ + \{y_i - (\frac{\partial F}{\partial x^i})_{x=\psi(y)} \} d\psi^i(y) \\ = \psi^i(y) dy_i dF(y) := \phi^i(x) dx_i \\ + \{x_i - (\frac{\partial G}{\partial y^i})_{y=\phi(x)} \} d\phi^i(x) \\ = \phi^i(x) dx_i

F=\Psi (x,\phi (x)), \ G=\Phi (y,\psi (y)),\ x,\ yはそれぞれ、解析力学のL,\ H,\ \dot q,\ pに対応する。

何か変換について考えるとき、重要なのは「何が不変量か?」ということだと思う。その視点で上の表を見てみると仮定の行の二次形式が不変で、 \frac{\partial^2 G}{\partial y^i \partial y^j} dy^i dy^j = \frac{\partial^2 F}{\partial x^i \partial x^j} dx^i dx^jとなっていることが分かる。これはルジャンドル変換では極値をとる点が保存される、ということだろう。

。。。と、書いてみたものの何かだまされた気がする説明だ。第一、 \Psi (x,y), \ \Phi (y,x)は違う関数なのに極値をとる点が同じなんて説明に意味があるのだろうか?スッキリ理解出来るまではもう少しかかりそうだ。

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Written by tkf

November 7, 2007 at 7:08 am

Posted in 解析力学, 数学

One Response

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  1. […] これを解決するために、ルジャンドル変換を導入する。詳しくはルジャンドル変換のまとめ参照。ラグランジアンからハミルトニアンへの変換とその逆の変換はルジャンドル変換である。つまり、について極値をとる演算子を用いれば、 […]


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