ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

似て非なるもの。

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さて、今度は解析力学I(朝倉)の第三章をまとめるか。

この章では、原理とか定理とか公式が沢山出てきてかなり混乱した。ぶっちゃけあんまり分かってないので、分かっている部分だけ書こう。書くことで整理出来るかもしれない。

第三章は変分を使ってラグランジュ形式について考察を加えていく。

まず、ダランベールの原理を変形することでラグランジアンの変分\delta Lの経路に沿った積分が0になるという式\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt =0を導く。この式は、次の原理を主張している。

ハミルトンの原理

系のとる経路の変分に対するこのラグランジアンの積分値の変化が高次の無限小になるとき、その経路を停留曲線と呼びこれが系が現実にとる経路となる。

この原理をニュートンの運動方程式にかわる新しい力学原理とすることが出来る。

作用積分は、I[c_L] = \int_{t_1}^{t_2} L(c_L(t),\ \dot c_L(t)) dtと定義される。ここでI[c_L]汎関数と呼ばれる。

ハミルトンの原理の定式化のために配位空間Nに時間軸\bf{R}を付け足した(直積をとった)、拡大配位空間N \times \bf{R}を考える。ラグランジアンも拡大配位空間に対して書き直される。ラグランジアンは、拡大状態空間TN \times \bf{R}上の関数である。(詳しくは>解析力学で出てきたオイラーの定理。

拡大配位空間上で基本1形式を定義する。これを使って拡大配位空間でのハミルトンの原理を書き直す。また、作用積分の変分計算の方法も考える。もとの曲線に垂直な方向のみを考える変分を\delta-変分といい、曲線に沿った方向も考えるものを全変分といって\triangleで表す。ストークスの定理や一次までとる計算で、次が導かれる。

変分法の基本公式

\triangle \tilde I [\tilde c_L] = [\sum_{i=1} p_i \triangle q^i - H_L \triangle t ]^{t_1}_{t_2} -\int^{t_1}_{t_2} dt (\sum_{i=1} {\cal E}_i[L] \delta q^i)

ハミルトンの原理で考える時には端点を固定するので、上式の右辺第一項は0となる。つまり、作用積分の変分は\triangle \tilde I = -\int^{t_1}_{t_2} dt (\sum_{i=1} {\cal E}_i[L] \delta q^i)である。

p個の拘束のある場合のハミルトンの原理を考える。質点の数をN個とすると、配意空間の次元(=自由度)はn = 3N -p個となる。ラグランジアンの変分\triangle I^0 = - \int_{t_1}^{t_2} \sum_k \{\frac{d}{dt} (\frac{\partial L^0}{\partial \dot x^k}) - \frac{\partial L^0}{\partial x^k}\} \delta x^k dt =0は、仮想変位\delta x^iが独立でないためにその中身を0としてラグランジュ方程式を導くことが出来ない。ラグランジアンの変分に拘束力の積分\sum_k \{ \sum_\mu \lambda_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial x^k} \delta x^k \} dt=0を足す。ここで、\lambda_\muラグランジュの未定乗数と呼ばれる。積分の中身はn個の自由度があるので独立にとれ、=0として式を立てることが出来る。残りのp個の式は、それを満たすように\lambda_muを選べばよい。拘束で減らされた自由度の分だけ未定乗数を加えてそれに拘束を吸収させるというというイメージで良いのだろうか。これを、ラグランジュの未定乗数法と呼ぶ。

ハミルトンの原理に次の原理を併せれば、変分法の基本公式が得られる。

ワイスの原理

「経路に沿って計算したラグランジアンの作用積分の変分が、端点の寄与のみからなる。」  ⇔ 「経路がラグランジュ方程式を満たす。」

その変分は、\triangle \tilde I [\tilde c_L]= [\sum_{i=1} p_i \triangle q^i - H_L \triangle t ]^{t_1}_{t_2}と書ける。

さて、この後にはネーターの定理の拡張や、最小化作用の原理、ヤコビの原理、測地線の方程式、フェルマーの原理など、重要っぽいことが続く。けれども、自分の言葉で簡単にまとめられるほど理解していないのでここで終わることにしよう。

なんだかこの章は読むのが辛かったんだが、書いてみてナゼだか分かった気がする。変分計算のやり方が曖昧なんだ。だから式変形を追うことしか出来ず、自分で考えることが出来ない。例えば、\delta \triangle の計算をどうしたら良いかの演算規則の説明が無い。ちゃんと読んだら分かるかもしれないし、他の本にきちんと書いてあるものがあるかもしれない。計算方法が分かったらまとめてみよう。

ラグランジュの未定乗数法の所は、書いているうちに理解が深まった気がする。だから文章も長くなってしまった。

ちゃんと理解出来なかった部分は、結構本質的な部分でだから難しかったのだろうと思う。もっとこういう議論に慣れれば、また読み返す時に分かるんではないかと思う。それに、ここの理解がこの本を読み出した理由では無いので今はあまりやる気がおきない。必要に迫られたら、で良いんだと思おう。

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Written by tkf

October 7, 2007 at 8:52 pm

Posted in 解析力学

2 Responses

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  1. ラグランジュの未定乗数法って漢字それなの?

    経済のテストでやりまくった覚えがあるわ。

    salamann

    October 7, 2007 at 10:56 pm

  2. うぉ。漢字ミスってる。ありがと!修正しといた。

    arataka

    October 8, 2007 at 10:05 am


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