ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

解析力学で出てきたオイラーの定理。

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朝倉の解析力学Iを読んでいて、拡大状態空間上でラグランジアンを考える時に出てきた「オイラーの定理」でひっかかってしまった。

このラグランジアンの状態空間は元の多様体と時間軸の直積空間N×\mathbb R の接バンドルT(N × \mathbb R)ではなく、元の多様体の接バンドルと時間軸の直積空間TN×\mathbb{R}になる。つまり、この状態空間の次元は2n+2ではなく2n+1になる。

ここでは、ラグランジアン\tilde{L} が拡大配位空間での一般化速度\{ {q^{i}}' \}の一次同次式、つまり

\tilde{L}(\tilde{p},k\tilde{p}') = k\tilde{L}(\tilde{p},\tilde{p}')

と書けるのでオイラーの定理により一つの微分方程式、

\tilde{L}(\tilde{p},\tilde{p}')=\sum_{i=0} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial  {p^i}'}  {p^i}'

が導けるとしていた。

本を探したり、ググってもなかなか見つからなかったけど証明の載ったページを発見した:

http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lagrange2.htm#hon-8a

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/081ksk.html

オイラーの定理っていう名前の定理の数かなりあるので、何の説明もなく使うのは不親切だと思った。

しかし、不思議な定理だなと思う。同次っていう性質だけから偏微分方程式が出来てしまうなんて。やっぱオイラーすごい。

Written by tkf

October 3, 2007 at 10:48 pm

Posted in 解析力学

One Response

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  1. […] ハミルトンの原理の定式化のために配位空間に時間軸を付け足した(直積をとった)、拡大配位空間を考える。ラグランジアンも拡大配位空間に対して書き直される。ラグランジアンは、拡大状態空間上の関数である。(詳しくは>解析力学で出てきたオイラーの定理。) […]


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