ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

Archive for October 2007

残念な目的地。

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この週末、ひたすらブログを書き続けている気がしてならない。まとめるのは結構面白いれどやっぱり早く先へ進みたい。

朝倉の解析力学Iの第四章は、ハミルトン形式の力学。そこに現れるのは、シンプレクティック構造。そもそもこの本を読もうと思ったのは、シンプレクティック構造ってなんだ、と思ったことがきっかけ。前期の授業やゼミで名前ばかり出てきて、でもその説明は無くて、なにくそ、と思ってたわけだ。

まず、ラグランジアンが正則ならばハミルトニアンが定義できて一般化運動量と一般化速度が一対一対応することを示す。ラグランジュの運動方程式はハミルトニアンにたいする正準方程式に変形出来る。一般化運動量は接ベクトルと双対であるので余接空間のベクトルであることが分かり、余接バンドルは相空間T^*Nと呼ばれ、一般化座標(=正準座標)と一般化運動量(=正準運動量)の組である正準変数(q, p)がその局所座標系となる。ここで、配位空間から相空間への写像である正準1形式\theta =p_i dq^iを定義する。

質点系では、配位空間に備わるリーマン計量から接空間に計量テンソル場m_{ij} dq^i \otimes dq^jを導入し、これが速度ベクトル場から相空間へ写像となり\theta = m_{ij} \dot q^j dq^iを得ることが出来る。これは一般的な力学で速度に質量をかけると運動量になることに相当する。

配位空間をn+1次元の拡大配位空間T \times {\bf R}に拡大して考えると、拡大相空間(T^*N) \times {\bf R}を導入することが出来る。拡大相空間の次元は2n+1となる。ここでも、正準1形式を考えることが出来、それを「(T^*N) \times {\bf R}に引き上げられた正準1形式」と呼ぶ。

さて、ここで正準2形式\Omega = d\theta = dp_i \wedge dq^iを定義する。 ここで、z= {}^t ( q^1,\cdots,q^n, p_1,\cdots,p_n) = {}^t (z^1,\cdots,z^{2n})とすると、\Omega = \frac{1}{2} \Omega_{\mu \nu} dz^{\mu} \wedge dz^{\nu}と表される。2階交代共変テンソルとしての正準2形式は行列表示で

\hat\Omega=(\Omega_{\mu\nu})=( \begin{array}{cc}\hat 0_n&-\hat I_n\\ \hat I_n&\hat 0_n \end{array})

となる。その2階反変テンソルの行列表示は、

\hat\Omega '=(\Omega^{\mu\nu})=( \begin{array}{cc}\hat 0_n&\hat I_n\\ -\hat I_n&\hat 0_n \end{array})

となる。

シンプレクティック多様体(M, \Omega)とは、

  1. 多様体の次元が偶数で、
  2. 交代2形式\Omegaが閉じている、つまりd \Omega=0で、
  3. 非退化、つまり<\Omega |v,\bullet>=0ならばv=0 である。

\Omega シンプレクティック形式という。

正準方程式は、\frac{dz}{dt} =\hat\Omega ' \nabla Hという形にも書ける。また、<\Omega|\dot c, \bullet > = -dHという形でも書け、これを正準方程式の局所座標系によらない表現という。

さらにこの表現はハミルトニアン・ベクトル場v_H = v_H^\mu \frac{\partial}{\partial z^{\mu}}を用いて、\dot c(t) = (v_H)_{c(t)}と書ける。

つまり、ハミルトン力学系を調べるということはベクトル場により決定される微分方程式系を調べることである。ここで、内容は一旦解析力学を離れ力学系の話になる。証明はほとんど載っていないが、 解の性質、線形化方程式、平衡解の性質、リャプノフ関数ポアンカレ写像など基礎的な内容について説明されている。ほとんど知っている内容で軽く読んだだけなので詳しくは説明しないことにする。

正準力学系は、偶数次元であるがために固有値のすべての実数部分が負になることは出来ないことが分かる。つまり、正準力学系は漸近安定な平衡解を持つことが出来ない。力学系を少し変化させても平衡点の性質は変わらない場合、その力学系は構造安定であるという。多くの正準力学系は構造安定である。

力学系の解をフローと呼ぶ。正準力学系のそれをハミルトニアン・フローと呼ぶ。ハミルトニアン・フローでは\Omega^{\mu\nu}の反対称性より{\rm div}\ v_H = \Omega^{\mu\nu} \frac{\partial^2 H}{\partial z^\mu \partial z^\nu} = 0となる。リュウヴィルの公式\frac{d}{dt} m[D] = \int_D ({\rm div}\ v(x) ) (dx)^nから、相空間の領域の体積は時間に対し不変であることが分かる。これをリュウヴィルの定理という。よって、正準力学系には湧点・沈点が無いこと、漸近安定な軌道も存在しないことが分かる。

自立正準系は保存系なので、等エネルギー面はその中に初期値をとる解がその中に留まり続ける不変集合になる。 これより、位相論的な議論から、有界な不変集合にはある点のどのような近傍にも繰り返し戻ってくる解が戻ってくる、そしてそのような点が必ず存在することが言える。これをポアンカレの再起定理と言う。

なんだか、期待してた分がっかりが大きかったような。。。まあ、一般の正準力学系に対して体積が不変だと証明するリュウヴィルの定理は面白いと思うし、ポアンカレの再起定理の証明の方法も位相論的なところが好きだ。けれど、どっちも証明出来る結果になんというか、夢がないような気がする。(それが正準力学系の特徴なんだろうけど。)シンプレクティック構造も、それ自身の美しさ以外にあっと驚くような有用性を期待していたのに。

いや、この本もあと一章残っているし、解析力学IIまで読めば面白いことがあるかもしれない。なにもこの本にこだわらなくても良いんだしね。まだまだ理解も甘いから見えてない部分もあるはずだ。

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Written by tkf

October 7, 2007 at 11:51 pm

似て非なるもの。

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さて、今度は解析力学I(朝倉)の第三章をまとめるか。

この章では、原理とか定理とか公式が沢山出てきてかなり混乱した。ぶっちゃけあんまり分かってないので、分かっている部分だけ書こう。書くことで整理出来るかもしれない。

第三章は変分を使ってラグランジュ形式について考察を加えていく。

まず、ダランベールの原理を変形することでラグランジアンの変分\delta Lの経路に沿った積分が0になるという式\int_{t_1}^{t_2} \delta L dt =0を導く。この式は、次の原理を主張している。

ハミルトンの原理

系のとる経路の変分に対するこのラグランジアンの積分値の変化が高次の無限小になるとき、その経路を停留曲線と呼びこれが系が現実にとる経路となる。

この原理をニュートンの運動方程式にかわる新しい力学原理とすることが出来る。

作用積分は、I[c_L] = \int_{t_1}^{t_2} L(c_L(t),\ \dot c_L(t)) dtと定義される。ここでI[c_L]汎関数と呼ばれる。

ハミルトンの原理の定式化のために配位空間Nに時間軸\bf{R}を付け足した(直積をとった)、拡大配位空間N \times \bf{R}を考える。ラグランジアンも拡大配位空間に対して書き直される。ラグランジアンは、拡大状態空間TN \times \bf{R}上の関数である。(詳しくは>解析力学で出てきたオイラーの定理。

拡大配位空間上で基本1形式を定義する。これを使って拡大配位空間でのハミルトンの原理を書き直す。また、作用積分の変分計算の方法も考える。もとの曲線に垂直な方向のみを考える変分を\delta-変分といい、曲線に沿った方向も考えるものを全変分といって\triangleで表す。ストークスの定理や一次までとる計算で、次が導かれる。

変分法の基本公式

\triangle \tilde I [\tilde c_L] = [\sum_{i=1} p_i \triangle q^i - H_L \triangle t ]^{t_1}_{t_2} -\int^{t_1}_{t_2} dt (\sum_{i=1} {\cal E}_i[L] \delta q^i)

ハミルトンの原理で考える時には端点を固定するので、上式の右辺第一項は0となる。つまり、作用積分の変分は\triangle \tilde I = -\int^{t_1}_{t_2} dt (\sum_{i=1} {\cal E}_i[L] \delta q^i)である。

p個の拘束のある場合のハミルトンの原理を考える。質点の数をN個とすると、配意空間の次元(=自由度)はn = 3N -p個となる。ラグランジアンの変分\triangle I^0 = - \int_{t_1}^{t_2} \sum_k \{\frac{d}{dt} (\frac{\partial L^0}{\partial \dot x^k}) - \frac{\partial L^0}{\partial x^k}\} \delta x^k dt =0は、仮想変位\delta x^iが独立でないためにその中身を0としてラグランジュ方程式を導くことが出来ない。ラグランジアンの変分に拘束力の積分\sum_k \{ \sum_\mu \lambda_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial x^k} \delta x^k \} dt=0を足す。ここで、\lambda_\muラグランジュの未定乗数と呼ばれる。積分の中身はn個の自由度があるので独立にとれ、=0として式を立てることが出来る。残りのp個の式は、それを満たすように\lambda_muを選べばよい。拘束で減らされた自由度の分だけ未定乗数を加えてそれに拘束を吸収させるというというイメージで良いのだろうか。これを、ラグランジュの未定乗数法と呼ぶ。

ハミルトンの原理に次の原理を併せれば、変分法の基本公式が得られる。

ワイスの原理

「経路に沿って計算したラグランジアンの作用積分の変分が、端点の寄与のみからなる。」  ⇔ 「経路がラグランジュ方程式を満たす。」

その変分は、\triangle \tilde I [\tilde c_L]= [\sum_{i=1} p_i \triangle q^i - H_L \triangle t ]^{t_1}_{t_2}と書ける。

さて、この後にはネーターの定理の拡張や、最小化作用の原理、ヤコビの原理、測地線の方程式、フェルマーの原理など、重要っぽいことが続く。けれども、自分の言葉で簡単にまとめられるほど理解していないのでここで終わることにしよう。

なんだかこの章は読むのが辛かったんだが、書いてみてナゼだか分かった気がする。変分計算のやり方が曖昧なんだ。だから式変形を追うことしか出来ず、自分で考えることが出来ない。例えば、\delta \triangle の計算をどうしたら良いかの演算規則の説明が無い。ちゃんと読んだら分かるかもしれないし、他の本にきちんと書いてあるものがあるかもしれない。計算方法が分かったらまとめてみよう。

ラグランジュの未定乗数法の所は、書いているうちに理解が深まった気がする。だから文章も長くなってしまった。

ちゃんと理解出来なかった部分は、結構本質的な部分でだから難しかったのだろうと思う。もっとこういう議論に慣れれば、また読み返す時に分かるんではないかと思う。それに、ここの理解がこの本を読み出した理由では無いので今はあまりやる気がおきない。必要に迫られたら、で良いんだと思おう。

Written by tkf

October 7, 2007 at 8:52 pm

Posted in 解析力学

分かっている。

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九月の後半は、ひたすら朝倉の解析力学Iを読む日々だった。後期始まったばかりで課題も少ないし(と油断している)。復習のつもりで読んだ内容をまとめてみようと思う。第一章の時もやって面白かったし。

ただ、既に第四章まで読んじゃっているのでなかなかキツイ。とりあえず第二章をまとめてみる。

第二章は、ラグランジュ形式の力学だ。

まず、ここを読む前に第一章の復習をしなければいけなかった。

拘束力\{ \bf{F}_\alpha '\}滑らかとは、次の性質を満たすことを言う。

\sum_\alpha \bf{F}_\alpha '  \cdot \delta  \bf{r}_\alpha = \sum_\alpha  (\bf{F}_\alpha '  \cdot  \frac{\partial \bf{r}_\alpha}{\partial q^i}) \delta q^i  =0

ただし、\delta \bf{r}_\alphaは、無限小変位\delta q = \{\delta q^i\}を用いて\delta \bf{r}_\alpha = \frac{\partial \bf{r}_\alpha}{\partial q^i} \delta q^i と表すことが出来る。

軽く読んでいた部分が実は重要だったんだ。でも、これが滑らかの定義とは直感ではちょっと理解しづらい。\delta \bf{r}_\alphaが、超曲面上の許された変位だから拘束力がそれに直交しているのは分かるんだが。それは滑らかというのだろうか。直感的な理解が出来るまではこの定義を忘れないようにしなければ。

この拘束力が滑らかである条件から、拘束が時間に依る(レオノーマスな)系でも成り立つラグランジュ方程式を導き出す。系がある瞬間で拘束条件を破らない変位は、拘束力(滑らか)と直交しているから、ニュートン運動方程式と滑らかである条件式からダランベールの原理が導かれる。

\sum_\alpha \{(\bf{F}_\alpha '  - m_\alpha \bf{\ddot r}_\alpha) \cdot  \frac{\partial \bf{r}_\alpha}{\partial q^i} )  \} \delta q^i = 0

この原理からラグランジュ形式は始まる。

ダランベールの原理式を変形していくと、運動エネルギーTで整理することが出来る。力がポテンシャルUから導かれるとすると、この式はラグランジアンL = T-Uを使ってあらわされるラグランジュ方程式\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}) -\frac{\partial L}{\partial q^i} =0に変形出来る。後に、力が速度の関数でもポテンシャルを一般化速度の関数で書いた一般化ポテンシャルを導入するけれど、力がポテンシャルから導かれるのは大前提だ。

ここで、配位空間Nの接バンドルTN状態空間と呼ぶことにする。一般化速度は配位空間の接ベクトルとなるから、組(q, \dot q)は状態空間の局所座標になる。ラグランジアンは状態空間上の関数である。ラグランジアンのヘス行列A_{ij} =  \partial^2 L / \partial \dot q^i \partial \dot q^j の行列式が0でない時ラグランジアンは正則であると言う。この時ラグランジュの運動方程式は\ddot qについて解け、常微分方程式の基本原理を適用すれば状態空間上の軌道の存在と一意性が言える。

ここからは、ラグランジアンの様々な性質を導く。ラグランジアンは点変換(時間に依っても良い。)で形を変えず、ラグランジュ方程式は共変ベクトルの成分として変換される。これをラグラジアンの共変性と言う。 また、ラグランジアンの正則性は点変換に依らない。また、ラグランジアンは一意に決まらない。(例えば、定数を掛けたり足したりしても無意味。)ラグランジアンをある関数の時間微分を足すゲージ変換してもラグランジュ方程式は不変である。

考えている系に保存量が在れば、運動を状態空間の部分空間に制約出来る。この保存量のことを第一積分と呼ぶ。 ここで、一般化運動量p_i = \partial L / \partial \dot q^i を定義する。これは一般化座標q^i共役な量である。もし、あるq^iがラグランジアンに含まれなければ、共役な一般化運動量は第一積分になる。この時の座標を循環座標と呼ぶ。この考えをもっとおし進めて、ラグランジアンを不変に保つ配位空間上の変換\Phi (\lambda, q)を考える。これに対応するモーメント関数F(q,\dot q) = \frac{d \Phi^i}{d  \lambda}|_{\lambda =0} \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}は第一積分になる。これをネーターの定理と言う。

今度は系が、時間の平行移動に対して不変であるとする。つまり、ラグランジアンがtを陽に含まないとする。この時、H_L = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \dot q^i - Lで定義されるハミルトニアンは第一積分となる。

第一積分が一つ見つかれば、それを一般化運動量と見た時のその一般化運動量p^n = \alpha_nに共役な一般化座標q^nはラグランジアンに陽に含まれない。一般化運動量が定数なのだから、系の運動は状態空間の一つ次元の落ちた超曲面上に限定される。ラグラジアンは第一積分の数だけ自由度を減らすことができ、それをラウシアンまたは修正ラグランジアンと呼ぶ。この関数は、\dot q^n = \phi^n (\{q^i \}, \{\dot q^i \})(ただし i=1,2, \cdots ,n-1)を使えばR = L - \alpha_n \phi^nと書ける。

さて、物理法則は座標系に関係なく成り立つので、座標系に依らない形で記述出来ないか?という考察から、多様体上の微分形式でラグランジュ方程式を書いてみる。一般化運動量は共変ベクトル成分であることが分かるので、1形式\theta_L p_i dq^i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} dq^iが導入できる。これの外微分をとると、d \theta_L = d(\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}) \wedge dq^iとなる。これらをそれぞれ基本1形式基本2形式と呼ぶ。この形式を使い、ラグランジュ方程式を書き直すと、<d\theta_L|\dot c_L,\bullet> = -dH_Lと書ける。これが幾何学的に表されたラグランジュ方程式である。

一般化速度の一次結合(接空間内での座標変換と呼んでも良いのかな。)を考える。これを\omega^l = \alpha ^l_i(q) \dot q^iと書く。ここで1形式\theta^l = \alpha^l_i dq^iの外微分が0となる時、ポアンカレの補題から\theta^l = dQ^lとなるQが存在する。これは、Q^l,\ \omega^l = \dot Q^lが一般化座標と一般化速度の組であることを示している。外微分d \theta^lが0とならない時にも、形式的にこれらを擬座標成分、擬速度成分と呼ぶ。

一般化座標と擬速度の組でラグランジュ方程式を書き直して、ポアンカレ方程式を得る。この方程式は、非ホロノミック拘束のある場合に有効である。

これまでの議論は、拘束力を消去した自由度の数だけの座標で書いたラグランジュ方程式についての議論だった。まず、ホロノミックな拘束を与えられた系について考える。自由度以上の座標と、拘束条件f^\mu (\bf{x}, t) =0をもつ系ではラグランジュ方程式は、\frac{d}{dt} (\frac{\partial L^0}{\partial \dot x^k})-\frac{\partial L^0}{\partial x^k} -\lambda_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial x^k}=0と書ける。拘束力は、\bf{F}_\alpha ' = \lambda_\mu \nabla_\alpha f^\mu (\bf{x}) = m_\alpha \ddot \bf{r}_\alpha +\nabla_\alpha U(\bf{x})で与えられる。

非ホロノミックな拘束でも、条件が微分量の一次式で与えられている場合はホロノミックな場合と同様に議論できる。この場合は、拘束はa^\mu_k dx^k + a^\mu_0 dt=0の形で与えられ、ラグランジュの方程式は\frac{d}{dt} (\frac{\partial L^0}{\partial \dot x^k}) -\frac{\partial L^0}{\partial x^k} = \lambda_\mu a^\mu_k となる。以上の2式から、x^k\lambda_\muが決定される。擬座標を用いる方法もある。

長い。。。

一回では書けなかったな。思い出すためにまた本読んだりしたし。非ホロノミックな拘束の部分は、二回読んで初めて理解できた。ただ、擬座標とポアンカレ方程式の部分は数式追っているだけでまだ理解していないな。例題やると分かるようになるのだろうか。でも今はまだ興味が沸かないので保留で。

この章で面白いと思ったのは、やっぱり多様体上でラグランジュ方程式を幾何的に書き直す所か。元の方程式の面影がまったく無くて驚くほどシンプルなのが凄いと思う。まだ、ありがたみがはっきりしないけど。

Written by tkf

October 6, 2007 at 9:57 pm

Posted in 解析力学

解析力学で出てきたオイラーの定理。

with one comment

朝倉の解析力学Iを読んでいて、拡大状態空間上でラグランジアンを考える時に出てきた「オイラーの定理」でひっかかってしまった。

このラグランジアンの状態空間は元の多様体と時間軸の直積空間N×\mathbb R の接バンドルT(N × \mathbb R)ではなく、元の多様体の接バンドルと時間軸の直積空間TN×\mathbb{R}になる。つまり、この状態空間の次元は2n+2ではなく2n+1になる。

ここでは、ラグランジアン\tilde{L} が拡大配位空間での一般化速度\{ {q^{i}}' \}の一次同次式、つまり

\tilde{L}(\tilde{p},k\tilde{p}') = k\tilde{L}(\tilde{p},\tilde{p}')

と書けるのでオイラーの定理により一つの微分方程式、

\tilde{L}(\tilde{p},\tilde{p}')=\sum_{i=0} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial  {p^i}'}  {p^i}'

が導けるとしていた。

本を探したり、ググってもなかなか見つからなかったけど証明の載ったページを発見した:

http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/lagrange2.htm#hon-8a

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/081ksk.html

オイラーの定理っていう名前の定理の数かなりあるので、何の説明もなく使うのは不親切だと思った。

しかし、不思議な定理だなと思う。同次っていう性質だけから偏微分方程式が出来てしまうなんて。やっぱオイラーすごい。

Written by tkf

October 3, 2007 at 10:48 pm

Posted in 解析力学