ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

さあ準備は出来た。

with 4 comments

今日は授業無いので昼まで寝てしまう。気合が足りないんだろう。ものすごくもったいない。

飯を食って数学ガールの続きを読み始める。

数�ガール
そういえば、これ読んでて夜遅くまで起きていた気がする。

数学とストーリーを混ぜた読み物でこんなに面白い本は見たこと無い気がする。こんな女の子居たら話してみたいと思ったね。 数学的な内容も面白かったし。ちょっと感動した。

その後、最近勉強中の解析力学の本を読む。

解析力�I
。。。と言っても、最初の100ページは微分幾何の話。やっとそこまで読み終えた。何度もトライしてきた分野だけど、今回初めて最後まで通せた。物理の本に載っているから最低限のことだけに絞れたのが良かったのかもしれない。

何をしたか、軽くまとめてみよう。

まず、普通のユークリッド空間での曲面の議論をする。その後、力学の議論を一般的な配位空間で行うために多様体Mを定義。局所座標系を導入し、方向微分の考えから接ベクトルv_Qとそれが作る接空間(TM)_Qを考える。多様体上のすべての接空間の和集合をとることにより接バンドルTMを作り、多様体から接バンドルへの写像としてベクトル場vを定義することが出来る。

多様体 → 接ベクトル、接空間 → 接バンドル → ベクトル場

ある多様体上の関数gを、別の多様体上で議論するために写像\phiを使った引き戻し\phi^* gを定義する。また、それぞれの多様体上の接ベクトルを対応させる微分写像\phi_*を定義する。

微分方程式の解から導かれた1径数変換群や積分曲線に沿った微分としてのリー微分、それを表すリー括弧、他にもリー群リー代数指数写像の話があった。きちんと理解していないが、実際に使うのはまだまだ後っぽいので今は保留。

 引き戻し、微分写像、(1径数変換群、リー微分、リー括弧、リー群、リー代数、指数写像)

さて、ここからは毛色の違う話になる。 ベクトル空間Vの話だ。ベクトルに実数を対応させる線形写像として1ベクトルを導入。これが作るのは、ベクトル空間V双対空間V^*だ。もとのベクトル空間の基底から双対基底を作ることが出来る。座標変換の特徴から、ベクトル空間のベクトルは反変ベクトルu、双対空間の1ベクトルは共変ベクトル\omegaと呼ばれる。また、先の線形写像は座標変換に対して普遍なのでこれを双対内積<\omega|u> = \omega [u]と呼ぶ。

また、多重線形写像からテンソル積を作る。p階交代テンソルを導入し、それをpベクトルと呼ぶことにする。(実際は、2階から始めて一般化した。)任意のテンソルから交代テンソルを作ることが出来ることを示し、その操作を交代化とした。そして、pベクトルの外積を交代化を用いて定義した。

ベクトル空間 → 双対空間、1ベクトル、双対基底 → 反変ベクトル、共変ベクトル → 双対内積

テンソル積 → 交代テンソル、pベクトル → 交代化 → 外積

ここまでは前フリ。長かったけど。ここからが、面白い(はず)。多様体の話と双対空間の話が一つになる。

接空間(TM)_Qの双対空間として余接空間(T^* M)_Qを導入。接バンドルと同様に、多様体上のすべての余接空間の和集合をとることにより余接バンドルT^* Mを作る。多様体から余接バンドルへの写像として微分形式\omegaを定義することが出来る。

余接空間を導入しているので、双対空間の話の時と同様にテンソルが導入出来る。バンドルで考える事が出来るのでテンソル場を定義出来る。テンソル場gg_Q[u_Q,u_Q] > 0という性質を持つとリーマン計量と呼ばれ、これを持つ多様体をリーマン多様体と呼ぶ。この多様体上では内積が定義出来る。高階の交代テンソル場はp次微分形式と呼ばれ、重要。

一つ高階の微分形式を得る外微分という演算を導入。これはdiv、grad、rotなどの一般化になっている。また、微分形式の積分も定義した。そして、ストークスの定理:

\int_D d\omega = \int_{\partial D} \omega

を証明した。(特別な場合だけだったけど。)

余接空間 → 余接バンドル → 微分形式 → テンソル場、(リーマン計量、リーマン多様体、内積) → p次微分形式 → 外微分 → 微分形式の積分 → ストークスの定理

うーん。長かったな。書いていて疲れた。。。

でも、クライマックスがある流れは素晴らしいと思う。一つ一つの知識が最後にまとめられて、いつの間にか一つの体系を見渡せるようになる、って感じだろうか。

第一章だけでこれだけ見せてくれたんだ。これからはもっと楽しくなるはずだと期待しよう。

Written by tkf

September 28, 2007 at 12:32 am

4 Responses

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  1. そんな女の子はいないんじゃないかな。

    salamann

    September 28, 2007 at 1:52 am

  2. そんなもんかなぁ。妄想の世界に生きるわ。

    arataka

    September 28, 2007 at 2:43 am

  3. 数学ガール読んでみたいっす!

    うひょ

    October 3, 2007 at 9:48 pm

  4. すまん。友達に貸すって言っちまった。
    Web版もあるっぽい:http://www.hyuki.com/girl/web.html
    本とはちょっと違うみたいだけど。

    arataka

    October 3, 2007 at 10:00 pm


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