ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

Archive for September 2007

さあ準備は出来た。

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今日は授業無いので昼まで寝てしまう。気合が足りないんだろう。ものすごくもったいない。

飯を食って数学ガールの続きを読み始める。

数�ガール
そういえば、これ読んでて夜遅くまで起きていた気がする。

数学とストーリーを混ぜた読み物でこんなに面白い本は見たこと無い気がする。こんな女の子居たら話してみたいと思ったね。 数学的な内容も面白かったし。ちょっと感動した。

その後、最近勉強中の解析力学の本を読む。

解析力�I
。。。と言っても、最初の100ページは微分幾何の話。やっとそこまで読み終えた。何度もトライしてきた分野だけど、今回初めて最後まで通せた。物理の本に載っているから最低限のことだけに絞れたのが良かったのかもしれない。

何をしたか、軽くまとめてみよう。

まず、普通のユークリッド空間での曲面の議論をする。その後、力学の議論を一般的な配位空間で行うために多様体Mを定義。局所座標系を導入し、方向微分の考えから接ベクトルv_Qとそれが作る接空間(TM)_Qを考える。多様体上のすべての接空間の和集合をとることにより接バンドルTMを作り、多様体から接バンドルへの写像としてベクトル場vを定義することが出来る。

多様体 → 接ベクトル、接空間 → 接バンドル → ベクトル場

ある多様体上の関数gを、別の多様体上で議論するために写像\phiを使った引き戻し\phi^* gを定義する。また、それぞれの多様体上の接ベクトルを対応させる微分写像\phi_*を定義する。

微分方程式の解から導かれた1径数変換群や積分曲線に沿った微分としてのリー微分、それを表すリー括弧、他にもリー群リー代数指数写像の話があった。きちんと理解していないが、実際に使うのはまだまだ後っぽいので今は保留。

 引き戻し、微分写像、(1径数変換群、リー微分、リー括弧、リー群、リー代数、指数写像)

さて、ここからは毛色の違う話になる。 ベクトル空間Vの話だ。ベクトルに実数を対応させる線形写像として1ベクトルを導入。これが作るのは、ベクトル空間V双対空間V^*だ。もとのベクトル空間の基底から双対基底を作ることが出来る。座標変換の特徴から、ベクトル空間のベクトルは反変ベクトルu、双対空間の1ベクトルは共変ベクトル\omegaと呼ばれる。また、先の線形写像は座標変換に対して普遍なのでこれを双対内積<\omega|u> = \omega [u]と呼ぶ。

また、多重線形写像からテンソル積を作る。p階交代テンソルを導入し、それをpベクトルと呼ぶことにする。(実際は、2階から始めて一般化した。)任意のテンソルから交代テンソルを作ることが出来ることを示し、その操作を交代化とした。そして、pベクトルの外積を交代化を用いて定義した。

ベクトル空間 → 双対空間、1ベクトル、双対基底 → 反変ベクトル、共変ベクトル → 双対内積

テンソル積 → 交代テンソル、pベクトル → 交代化 → 外積

ここまでは前フリ。長かったけど。ここからが、面白い(はず)。多様体の話と双対空間の話が一つになる。

接空間(TM)_Qの双対空間として余接空間(T^* M)_Qを導入。接バンドルと同様に、多様体上のすべての余接空間の和集合をとることにより余接バンドルT^* Mを作る。多様体から余接バンドルへの写像として微分形式\omegaを定義することが出来る。

余接空間を導入しているので、双対空間の話の時と同様にテンソルが導入出来る。バンドルで考える事が出来るのでテンソル場を定義出来る。テンソル場gg_Q[u_Q,u_Q] > 0という性質を持つとリーマン計量と呼ばれ、これを持つ多様体をリーマン多様体と呼ぶ。この多様体上では内積が定義出来る。高階の交代テンソル場はp次微分形式と呼ばれ、重要。

一つ高階の微分形式を得る外微分という演算を導入。これはdiv、grad、rotなどの一般化になっている。また、微分形式の積分も定義した。そして、ストークスの定理:

\int_D d\omega = \int_{\partial D} \omega

を証明した。(特別な場合だけだったけど。)

余接空間 → 余接バンドル → 微分形式 → テンソル場、(リーマン計量、リーマン多様体、内積) → p次微分形式 → 外微分 → 微分形式の積分 → ストークスの定理

うーん。長かったな。書いていて疲れた。。。

でも、クライマックスがある流れは素晴らしいと思う。一つ一つの知識が最後にまとめられて、いつの間にか一つの体系を見渡せるようになる、って感じだろうか。

第一章だけでこれだけ見せてくれたんだ。これからはもっと楽しくなるはずだと期待しよう。

Written by tkf

September 28, 2007 at 12:32 am

微分方程式の復習とか。

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勉強の支えにしようと思ってブログ書いているのに、最近遊ぶか寝てばかり。遊ぶのはよくても、寝るのもったいない。

非平衡系の物理�

という本をずいぶん前から読みたくてちょこちょこ目を通しているのだけど、数式の変形が不親切なのか統計力学の知識が足りないのか全然読めない。面白そうなトピックばかり載っているのになぁ。

しょうがないので、統計力学を普通に復習しよう。あと熱力学も。統計力学は、ミクロな変数(というか大抵の場合量子力学の結果)から熱力学の変数を作ってしまう学問なので、熱力学分かって無いと面白くない気がしてきた。その流れで散逸系とかにも行きたい(行けるかなぁ)。あと、ランダムウォークは真面目に確率過程から入って行ったほうが良い気がする。急がば回れですな。

その後、常微分方程式の洋書を読む。ゼミ関係で。英語の勉強にはなったかな、くらい。かなり初歩的な部分だったし。でも、細かい問題点について考えることが出来た気がする。

あと、存在と一意性の定理の証明をやった。これもゼミ関係。昔一度やったけど、今やってみるとナルホドなーと関心出来て面白い。最初やる時は数式追うのでいっぱいいっぱいだし。

証明してる時に気になったのが、リプシッツ連続は証明しようとしている領域全体で仮定しなきゃいけないのではないかと言うこと。局所リプシッツは

ある定数L>0を選んで、|f(t,x)-f(t,y)| \le L |x-y|が任意の点(t_0,x_0) の近傍に属する任意の点(t,x),\ (t,y) で成り立つように出来る

って定義するのだけど、これじゃ証明使用している領域全体で同じL を使えないんじゃないかな。近傍を自分で選べて、どんな近傍を選んでもLがあるなら良いけど、それじゃ大域的なリプシッツと何が違うのかという感じだし。

もしかしたら凄い勘違いしてるのかも。他の本でも調べてみよう。。。

Written by tkf

September 21, 2007 at 12:00 am

高校。文化祭。jk

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無事東京に着いた。朝一番の便で、満席だったのにも関わらず空席待ちで手続きしたらすんなり。空席待ちってこんなもんなんだろうか。

東京についたらメーリスで近くの高校で文化祭がやっているということなのでてっちゃんと行くことに。jkを見てはしゃぎ、オーケストラを見て「やっぱ音合わせるのって難しいのかな」と思ったり、ダンス見て文化祭って良いね高校って良いねと思った。あとカレーも食べた。

その後、サークルに顔を出す。かなり久しぶり。OBなのに徹夜しろとか言われる。でも頑張ってるの見るのは楽しい。駆動ノートが日記と化していて面白かった。

今日何も本読めなかったな。飛行機の中でちょっと読んだくらい。早起きしすぎて眠いので寝ようと思うけど明日は頑張ろう。分布関数を用いたエントロピーの式:

S = k_B \sum_{\boldmath l } [ -f( \varepsilon_{ \boldmath l} ) \ln f(\varepsilon_{ \boldmath l}) \mp ( 1 \mp f( \varepsilon_{{ \boldmath l}} ) \ln ( 1 \mp f( \varepsilon_{ \boldmath l} ) ) ] (Fermi 粒子(上)、Bose 粒子(下)) とか。

Written by tkf

September 16, 2007 at 10:06 pm

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後期の待つ東京へ。

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考えてみれば沖縄帰って来たの先月の18日だから、そろそろ一ヶ月だ。

帰ってきた最初の週は色々なカテゴリの友達と遊んだ。そのおかげで二日おきくらいの勢いで飲み+カラオケ。朝刊とって寝る日々。

その次の週は、サークルの人々が一クラス作れる位の勢いでおしかけてきた。毎日酷い飲みをした久米島が懐かしいわ。

サークルの人が帰ると、また時々地元の友達と飲んだり、あとはクラブ連れて行ってもらったり。 「まだ居たの」と言われたりした。お誘いも減ってきたのでこの頃から勉強はかどるようになる。そういえば、ハリーポッターのラストが面白かった。

そんなことをしてた07夏も終りですか。東京戻ったら、意外と肌寒くて切なくなる気がする。やると言っていたバンド活動もちゃんとせねば。

飛行機のチケットが無いので明日は朝7時には空港に居て空席待ちしないと。空席10にも満たないが。不安。あと起きれるか不安。 寝ようかそれとも起き続けようか迷う。

Written by tkf

September 15, 2007 at 10:46 pm

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カノニカルアンサンブル三つ。

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今日はミクロカノニカルアンサンブル(の続き)、カノニカルアンサンブル、グランドカノニカルアンサンブルの三つをやった。最後のほうは結構適当にやったのでもう一度やらないといけないな。カノニカルアンサンブルとグランドカノニカルアンサンブルは、こんなに少ない情報から熱力学が組み立てられるのかとかなり面白かった。ただ、熱力学の知識をかなり忘れてたので面白みが半減した気がする。後期が始まるまでに復習したいと思った。

感動した式は、エネルギー揺らぎと定積熱容量をつなぐ式:

<E^2> - <E>^2 = k_B T^2 C_V

かな。 まだきちんとした理解には至ってないと思う。けれど、こういう一見なんで等しくなるか分からないような物理量がつながるというのは面白い。色々考える事も出来そうだし。

そういえば、気づけば後期まであと少ししかない。(と、昨日友達と電話してて気づく。 )

後期始まる前にやらねばならないこと:

  1. レポート(ゼミ)。
  2. 微分方程式の教科書を読む(ゼミ)。
  3. 微分方程式の存在と一意性の定理の証明(ゼミ)。

ゼミばっかだな。ちゃっちゃ終わらせなければ。

夏休みのうちにやりたかったけど… :

  1. 微分形式周辺についてもっと理解。 出来ればLieとかまで行きたい。
  2. 解析力学を、微分形式で体系的に理解。夏休み入るまえに大分やってたはずが。忘れてたら嫌だな。
  3. 論文を読み漁る。研究とはどんなものか、直接知りたい。

いや。まだ出来るはずだ。人間本気になれば一日一冊くらい読める。。。はず。

Written by tkf

September 15, 2007 at 10:23 pm

Posted in 統計力学

統計力学で、エントロピーまで。

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最近は、結構調子良く出来てたのではないかと思う。全然出来なかった日もあったけどね。

とりあえず、複雑で大きな系を記述するには統計力学が 要るだろうということで統計力学を勉強中。

最初は、

数�で�み解く統計力�―平衡状態とエルゴード仮説

を読んでいたんだけど、記述が不親切なところがあったのかまったく進めなかったのであきらめて別の本を探した。(ん。今ぱっと見たら読めそうだったぞ。w)

そこで、 見つけたのが

統計力�を�ぶ人のために

という本。今は帰省中で実家の周りの本屋には全然本が無く、むしろこれしか無かったという感じ。でも、まあまあ当たりかなと思える本だった。PDF版公開されてるから無料で手に入るのは気づかなかったことにしたい。

ところで、統計力学の教科書はどれもスピンだとか量子力学の話が載っていて量子力学分かっていないとちゃんと理解した気になれない。作られたのは統計力学の方が先なんだから、量子力学の話をしなくても良いはずだと思うんだけど。

というわけで 、統計やる前に量子だということで量子力学を勉強することにしたのだが、実家の周りは本屋に本が無いのでWebで手に入るテキストを使う事に。最初使っていたEMANさんの量子力学は第一部までは分かりやすく読めた。しかし、第二部の座標表示で使われていた\psi (x) = <x| \psi > という表記方法が数学的じゃない気がしてなじめず、別のテキストを探す。島根大学の阪本先生の量子力学I,IIの講義のプリントが分かりやすかったので、これをメインに使う。数式の変形とかがしっかり書かれているので、かなり分かりやすかったと思う。スピンまで行けた。ただ、シュレディンガーの猫とかの話が良く分からないので、まだ数式の表面的な理解しかしてないんだろうなというのが実感。今の理解は、

量子力学は、「確率的なふるまいをする系とその測定値」が得られる実験結果と「系を、波動関数(状態ベクトル)で表し、それが固有値をもつ」という数学的特徴を組み合わせた学問。

という所に落ち着いている。

量子を一週間弱かけてなぞった後、統計力学に戻った。今日は、

S = -k_B \sum_{\mathrm{state}} P_{\mathrm{state}} \ln P_{\mathrm{state}}

で定義されるエントロピーが熱力学で使われるものと同じであることを、古典的理想気体の場合について示すところまで。(これ、一般に示す事出来ないのかな。)

Written by tkf

September 15, 2007 at 12:59 am

ブログ再開。

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ふぅ。やっと、ブログの移行作業が終了。タイトル変えるのに手間取った。Blogger -> WordPress へのデータ移行はかなり簡単だったけど。

今日は高校の時通っていた塾へ行き 、高校生相手にその塾の学習会で講演(もどき)をした。主に多読について。学習会で勉強の方法の話をしているのを聞いてると、高校の頃は目標達成にむけて色々やってたんだなと思い出した。その学習会で面白いなと思ったが今日何をやったか日記をつけるというもの。

それが、ブログ再開しようと思った理由。単純だな、俺。でもまあ、何したか振り返るかは大事な気がする。

とはいえ、今日は統計力学の本ちょっと読んだだけ。それにもう眠いわ。明日、今なにやってるかとかまとめてみるか。

Written by tkf

September 13, 2007 at 4:24 pm

Posted in 日常