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千葉さんのテキスト（群論は輪っかの理論）を中途半端に読んだあとに読んだ． Symmetry Groups and Their Applications (by Willard Miller) の Chapter 1．

left coset:
- $H$ は $G$ の部分群
Theorem 1.2 が Lagrange’s theorem
is conjugate to :
- 共役
- ⇔ $k = g h g^{-1}$ なる $g \in G$ が存在する
- equivalence relation (同値関係:反射律, 対称律, 推移律) を満たす
同値関係が成り立つものどうしで conjugacy classes が定義される
の部分群が部分群に conjugate
- ⇔ $K = g H g^{-1}$ なる $g \in G$ が存在する
- ⇔ $K g = g H$ なる $g \in G$ が存在する
の部分群が normal
- 正則部分群
- ⇔ $N = gNg^{-1} ,\ \forall g \in G$
- ⇔ $gN = Ng,\ \forall g \in G$
factor group $G/N$ , cyclic とかの話

Homomorphism:
- $\mu : G \to G'$ が $\mu(g_1 g_2) = \mu (g_1) \mu (g_2)$ を満たす
Isomorphisms
- homomorphism が 1-1 (単射) かつ onto (全射)
Automorphisms
- isomorphism の定義域が自分自身
- すべての automorphisms の集合は群 $A(G)$ をなす
こんな感じ:
- Homomorphisms
  - Isomorphisms
    - Automorphism
ほかに， kernel が部分群になる話とか

permutation of
- 定義: 集合 $X$ からそれ自身への全単射な写像
- : すべての permutation の集合
  - 群をなす
  - full symmetric group on $X$
  - これの要素を act on $X$ とか operate on $X$ とか呼ぶ
transformation (permutation) group on :
- 変換群
- $S_X$ の部分群
is G-equivalent to ():
- 定義: $g x = y$ がある $g \in G$ について成立
- $\sim$ は同値関係
G-orbits (or just orbits):
- 同値関係 $\sim$ のもとでの equivalence classes (同値類)
は群をなす
- ただし，
  - $Y$ は $X$ の任意の部分集合
  - $G$ は $X$ の変換群
- …らしいんだけど，証明できない
- というか，これ反例じゃないのかなあ:
  - $X = R$ , $Y = Z$ , $G$ を定数倍の変換すべての集合とする
  - $i \in Z$ について，例えば， $g(x) = 2x$ の逆写像 $g^{-1}(x) = x/2$ は $g^{-1}(Y) \subseteq Y$ を満たさないので $K$ には含まれない
- なんか勘違いしている？
isotropy subgroup of at
- 定義: $G^x = \{ g \in G: gx = x \}$
Theorem 1.6
- $x$ を含む G-orbits と $G^x$ の left coset が1-1対応する．
抽象的な群としては同じでも，幾何的・物理的にはちがう，という話
このあとの left regular representation がよく分からなくてスルーした（ぉ

direct product (直積) でふたつの群 $G, G'$ から新しい群をつくる
$G \times \{e'\}$ を $G$ とみなして良いよ，という話
だったら，群の
1. ふたつの部分群 $H, K$ の元が可換 $hk = kh$ で，
2. すべての $g \in G$ が $g = hk$ とかける
なら， $G$ は $H, K$ の direct product (直積)だと言ってしまおう
semidirect product
- direct product の一般化
- $\langle h,k \rangle \langle h',k' \rangle = \langle h v_k(h'), k k' \rangle$
- ただし，写像は
  - homomorphism で，
  - - ただし $A(H)$ は $H$ の automorphism group
- なんか式がきたないけど，群の公理を満たすことを示すとなるほどなあと納得できるかんじ
- すべての $k \in K$ で $v_k = 1$ なら direct product と等価