ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

なぜ増加列の極限は全体の和集合

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か分かった．というか，定義だったらしいw

ルベーグ積分30講（志賀浩二）の第11講測度空間より．

まず，集合列（増加列と減少列）の極限の定義は以下：

  • 集合の増加列 A_1 \subset A_2 \subset \cdots \subset A_n \subset \cdots に対し
    極限集合：\lim A_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
  • 集合の減少列 A_1 \supset A_2 \supset \cdots \supset A_n \supset \cdots に対し
    極限集合：\lim A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n

しかし，これを包括する集合列の極限の定義があって，それは以下：

  • 集合列
    • 上極限集合：\overline \lim A_n := \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k
    • 下極限集合：\underline \lim A_n := \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_k
    • \overline \lim A_n = \underline \lim A_n のとき，集合列 \{ A_n \} は収束し
      \lim A_n := \overline \lim A_n = \underline \lim A_n
      と表す．

最初の二つの定義がすぐ上の定義に含まれていることはすぐに分かる．増加列に関しては

  • 増加列だから，
    • \bigcup_{k=1}^{\infty} A_k \subset \bigcup_{k=n}^{\infty} A_k (n \ge 1)
      より \overline \lim A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
    • \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} = A_n
      より \underline \lim A_n = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n
  • ゆえに \lim A_n = \overline \lim A_n = \underline \lim A_n

減少列についても同じ感じ（だと思うw

Written by tkf

November 3, 2008 at 2:58 pm

Posted in 数学

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ルベーグ積分21/30講 »

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  1. [...] この後，増加列，減少列，そして一般の集合列について上極限，下極限，（収束する場合の）極限を定義をする．別の記事にまとめた． [...]

    ルベーグ積分21/30講 « ナンクル力学系

    November 4, 2008 at 9:23 am


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