ナンクル力学系

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カオスとか非線形力学系を一人で学ぶための本まとめ

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カオスや非線形力学について,数学科や物理科以外の学生でも(もちろん数学科や物理科の学生さんも)一人で学べるような本を紹介します.また,最後に「こう読めば良いんじゃないか」という順番も示します.

ちなみに私は工学部の人なので,そんなに数学や物理に特化した授業を受けたわけではないです.参考までに,私がその本を読んだ時期も書いておきます.

[1] Kathleen T. Alligood, Tim Sauer, James A. Yorke,津田 一郎 訳 :カオス 第1巻 – 力学系入門カオス 第2巻 – 力学系入門カオス 第3巻 – 力学系入門
原書 :Chaos: An Introduction to Dynamical Systems

  • 必要な知識 : 微分積分,線形代数(と,その微分方程式との関係),微分方程式
  • 読んだ時期 : 4年の春(というか昨日読み終わった)

カオスの本は数学科や物理科でしか習わないような位相やルベーグ積分の知識などを要求されるような高度な本か,数式がほとんどなくて,説明も適当で,ストレンジアトラクタやフラクタルの図を見せて「ほら綺麗でしょ」という本が多いのではと思います.そんな本にイライラしている人にぴったりな本です.

数学科の人でも満足できる定理の証明があり,その他の学科の人でもついて行けるようにたくさんの例を示してる本はこの本以外に見たことがありません.また,より高度に数学的な内容を考えることが出来る「挑戦問題」と,実際の物理現象への応用を説明してくれる「研究室訪問」が各章末にあり,”何度でも美味しい”本だと思います.訳本は3分冊で分量も多く,最初は定理の証明はしない,などの読み方に工夫が必要になるかもしれません.

訳本は2007年出版なので比較的新しい本なのかと思ってましたが,原書は1997年出版なので10年以上も前の本ということになります.力学系が学部の正式なカリキュラムとして取り入れられている大学は少ないと思いますが,それでも日本のカオスなど力学系についての教育が10年も遅れてるのと思うと恐ろしくなります.一つの本でそこまで言うのは言いすぎですが,それくらい良い本だと思います.

[2] Steven H. Strogatz :Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering

  • 必要な知識 :微分方程式が解ければOK,あとちょっと線形代数
  • 読んだ時期 : 1年後半から2年冬くらい(忙しくて読んだり読まなかったりしてたので時間がかかった)

普通の微分方程式の授業しか受けたことが無ければ,微分方程式というのは解くものだ,と思っているでしょう.しかし,この本(の前半)は解かなくても分かる微分方程式の性質を調べます.難しい数式は一切出てきませんが,数式はいっぱい出てきます.その簡単な数式で現象がそこまで理解出来るのか,非線形力学系やカオスについてそこまで議論できるのか,という驚きにあふれています.実際,先の「カオス 力学系入門」[1]で取り上げられている話題のほとんどはこの本で網羅されていますし,この本にはあるのに[1]には無い話題もあります.(「飛び道具」的な感じはしますが.それも楽しいです.)ただ,定理の証明などは省かれている部分も多く,研究などで使う応用のためには追加調査が要るでしょう.

まずはカオスと非線形力学について触れよう,くいらいの気持ちで読めばそのほとんどが分かる,そいう本です.

[3] 藪野浩司 :工学のための非線形解析入門, 臨時別冊・数理科学2004年6月

  • 必要な知識 : 微分方程式が解ける
  • 読んだ時期 : 2年の秋

先の二つの本はカオスや非線形力学を網羅的に扱おうとした本ですが,この本は逆に工学に現れる非線形現象をどう解析するか?に的を絞っています.しかし,扱っているモデルはバネや振り子など,微分方程式のモデルではなじみのあるものだと思うので工学系でなくても読みやすい本だと思います.

この本が素晴らしいのは,無次元化という話題を詳細に扱っていることです.無次元化は現象を理解するのに大切な方法ですが,これを扱っている本はあまりありません.私も,先のStrogatzの本で初めて知りましたが,この本はその知識をより体系的にまとめてくれるのに役立ちました.

また,非線形現象の解析のために中心多様体理論,ベクトル場の標準形,摂動法,多重尺度法などかなり高度な内容を扱っていますが,定理の証明などは無く,それはどの条件の時に使えるか?などに言及することで,とにかく沢山の例を挙げています.定理は良いから,沢山の例を見たい,解きたい,という人にぴったりな本です.すぐにでも応用にも使えそうな,実戦向けの本です.


[4] 笠原 晧司 :新微分方程式対話

  • 必要な知識 : 微分方程式,線形代数
  • 読んだ時期 : 1年夏(だったかな...もはや忘れた)

この本はタイトルの通り,微分方程式の本です.カオスや非線形力学系という言葉は出てきません.しかし,普通の微分方程式の授業と非線形力学系の橋渡しをするのに丁度良い本です.この本で扱われている内容はカオスや力学系の本にも書かれていますが,端折られている場合が多いように感じます.まじめに非線形力学系の本を読もうと思ったら,その前にこの本をさらっと読むと良いと思います.学生と教授との対話形式(なぜか大阪弁?)なので,かなり軽く読めると思いますが,内容は結構濃いです.

この本ではかなり線形代数の知識が使われています.使われている知識を網羅した読みやすい本に,道具としての線型代数があります.私が「微分方程式対話」とそれに必要な「道具としての線型代数」の主な話題を短くまとめたテキスト「微分方程式の安定性」を公開してるので,それが参考になるかもしれません.(今パッとみたら結構文章が酷いですが.笑)

[5] 千葉 逸人 :解くための微分方程式と力学系,月刊 理系への数学で連載中(2008年5月現在)

  • 必要な知識 : 線形代数
  • 読んだ時期 : 最近,いくつかの月の記事を読みました

単行本化したら絶対買おうと思っている本です.簡単な微分方程式からスタートしますが,後半からは著者の千葉さんが今研究されている話題のような,新しいトピックにも触れています.非線形微分方程式の解の様子を理解するための高度な方法を知りたいならこのテキストを読むべきでしょう.沢山の例があり,適用方法も分かります.定理の証明が無い部分もありますが,それは単行本化される時に補完されることを願います.

ただ,限られた紙面での連載のためか,時々扱っている数学公式が難しい(少なくとも私は知りませんでした)場合があるので,自力での追加調査が必要になると思います.

本の読み方・読む順序

最終的には[1]を読むことを目標にするのが良いと思います.しかし,数学が得意でなければ難しいと思うので,そういう人はまず[2]を読むのが良いかもしれません.しかし,[2]は訳本が無いので英語が苦手な人には厳しいかもしれません.そういう人は,[4]か[5]で微分方程式と力学系の関係をさらっと抑えてから[1]を読めば良いと思います.

また,[1]は長いので,微分方程式の内容が理解できてる人はまず第2巻をさらっと読むことをお勧めします.そうすれば,一見つまらない写像の話に1巻全体を割く理由が分かって読みやすくなる可能性があるからです.(これは私がそう読んで,良かったと思えたからです.最初に1巻が手に入らなかった,という理由があったのですが.)

[3]-[5]は副読本として,それぞれのトピックを補強するのに役立つでしょう.

まとめると,

  • [2]→(微分方程式について補強が必要なら[4] or [5])→[1]
  • [3]は無次元化についての補足か,[5]で出た非線形微分方程式の解析方法をさらに応用するために使う.

という流れから,自分の数学・英語の力に応じて選択という感じです.あとは実際に本を書店か図書館で見たときのフィーリングでしょう.それが一番大事ですが.

この記事はずっと探していた内容でもあり,ずっと書きたかった内容でもあります.

「カオス」や「非線形」という言葉は理工学系の大学生なら一度は聞いたことがある言葉ではないでしょうか.書店に行っても沢山の啓蒙書が並んでいます.私も大学一年の時にSYNC(ストロガッツ著)という本を読み,非線形力学の可能性に興奮した一人です.

しかし,私は工学部の学生だったので普通のカオスの本や力学系の本を読むのは大変でした.それでも必要な知識を手に入れるために色々な本を読んだり,探したりしていて見つけたのが上で紹介した本です.この記事が私と同じような興味を持ちながら,情報が少ないためにどうしたら良いか分からないという人の役にたったら良いなと思います.

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Written by tkf

May 6, 2008 at 2:55 pm

3 Responses

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  1. [...] ここでも書いたけど、今年読んで一番感動した本がこれ。カオス・力学系の話の全体像がつかめる。周辺領域の研究で使うくらいならこれで充分な気がする。微分方程式と線形代数が分かれば読める。ホモクリニック点の存在から初期値敏感性などの複雑な性質が決まってしまう所の話は、思い出すだけでドキドキである。 [...]

  2. このブログを研究室で読ませてもらっています。
    僕は理論生物学の研究室に所属していて
    教科書を探す過程でここにたどり着きました。
    生物系に所属している僕としてはどれも難しかったです。
    そこで図書館で自分で探したところ
    Daniel Kaplan and Leon Glass : Understanding Nonlinear Dynamics
    というのを見つけてそれで勉強しています。
    生物系の学生向けに書かれたらしく、(僕には)わかりやすいです。
    というか難しいところまでは書かれていません。
    なので最初に触る、ためにはいいかと思います。

    minekk

    July 17, 2009 at 7:56 pm

  3. minekkさん,情報ありがとうございます.

    > 生物系に所属している僕としてはどれも難しかったです。
    自分の読んだ本すべて書いてるわけじゃないので,もしかしたらもっと別の本を読んだ時に身につけた知識が必要だったのかもしれないですね.

    Amazonで目次だけ見ましたが,読みやすそうな本だと思いました.セル・オートマトンに触れてるあたりが,ここであげた本には無い特徴ですね.探してみたら大学の図書館にあったので,今度パラパラ見てみます.

    tkf

    July 17, 2009 at 9:45 pm


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