ナンクル力学系

学んだ事を書き連ねていこう。

分かっている。

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九月の後半は、ひたすら朝倉の解析力学Iを読む日々だった。後期始まったばかりで課題も少ないし（と油断している）。復習のつもりで読んだ内容をまとめてみようと思う。第一章の時もやって面白かったし。

ただ、既に第四章まで読んじゃっているのでなかなかキツイ。とりあえず第二章をまとめてみる。

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第二章は、ラグランジュ形式の力学だ。

まず、ここを読む前に第一章の復習をしなければいけなかった。

拘束力\{ \bf{F}_\alpha '\}が滑らかとは、次の性質を満たすことを言う。

\sum_\alpha \bf{F}_\alpha ' \cdot \delta \bf{r}_\alpha = \sum_\alpha (\bf{F}_\alpha ' \cdot \frac{\partial \bf{r}_\alpha}{\partial q^i}) \delta q^i =0

ただし、\delta \bf{r}_\alphaは、無限小変位\delta q = \{\delta q^i\}を用いて\delta \bf{r}_\alpha = \frac{\partial \bf{r}_\alpha}{\partial q^i} \delta q^i と表すことが出来る。

軽く読んでいた部分が実は重要だったんだ。でも、これが滑らかの定義とは直感ではちょっと理解しづらい。\delta \bf{r}_\alphaが、超曲面上の許された変位だから拘束力がそれに直交しているのは分かるんだが。それは滑らかというのだろうか。直感的な理解が出来るまではこの定義を忘れないようにしなければ。

この拘束力が滑らかである条件から、拘束が時間に依る（レオノーマスな）系でも成り立つラグランジュ方程式を導き出す。系がある瞬間で拘束条件を破らない変位は、拘束力（滑らか）と直交しているから、ニュートン運動方程式と滑らかである条件式からダランベールの原理が導かれる。

\sum_\alpha \{(\bf{F}_\alpha ' - m_\alpha \bf{\ddot r}_\alpha) \cdot \frac{\partial \bf{r}_\alpha}{\partial q^i} ) \} \delta q^i = 0

この原理からラグランジュ形式は始まる。

ダランベールの原理式を変形していくと、運動エネルギーTで整理することが出来る。力がポテンシャルUから導かれるとすると、この式はラグランジアンL = T-Uを使ってあらわされるラグランジュ方程式\frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}) -\frac{\partial L}{\partial q^i} =0に変形出来る。後に、力が速度の関数でもポテンシャルを一般化速度の関数で書いた一般化ポテンシャルを導入するけれど、力がポテンシャルから導かれるのは大前提だ。

ここで、配位空間Nの接バンドルTNを状態空間と呼ぶことにする。一般化速度は配位空間の接ベクトルとなるから、組(q, \dot q)は状態空間の局所座標になる。ラグランジアンは状態空間上の関数である。ラグランジアンのヘス行列A_{ij} = \partial^2 L / \partial \dot q^i \partial \dot q^j の行列式が0でない時ラグランジアンは正則であると言う。この時ラグランジュの運動方程式は\ddot qについて解け、常微分方程式の基本原理を適用すれば状態空間上の軌道の存在と一意性が言える。

ここからは、ラグランジアンの様々な性質を導く。ラグランジアンは点変換（時間に依っても良い。）で形を変えず、ラグランジュ方程式は共変ベクトルの成分として変換される。これをラグラジアンの共変性と言う。 また、ラグランジアンの正則性は点変換に依らない。また、ラグランジアンは一意に決まらない。（例えば、定数を掛けたり足したりしても無意味。）ラグランジアンをある関数の時間微分を足すゲージ変換してもラグランジュ方程式は不変である。

考えている系に保存量が在れば、運動を状態空間の部分空間に制約出来る。この保存量のことを第一積分と呼ぶ。 ここで、一般化運動量p_i = \partial L / \partial \dot q^i を定義する。これは一般化座標q^iに共役な量である。もし、あるq^iがラグランジアンに含まれなければ、共役な一般化運動量は第一積分になる。この時の座標を循環座標と呼ぶ。この考えをもっとおし進めて、ラグランジアンを不変に保つ配位空間上の変換\Phi (\lambda, q)を考える。これに対応するモーメント関数F(q,\dot q) = \frac{d \Phi^i}{d \lambda}|_{\lambda =0} \frac{\partial L}{\partial \dot q^i}は第一積分になる。これをネーターの定理と言う。

今度は系が、時間の平行移動に対して不変であるとする。つまり、ラグランジアンがtを陽に含まないとする。この時、H_L = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} \dot q^i - Lで定義されるハミルトニアンは第一積分となる。

第一積分が一つ見つかれば、それを一般化運動量と見た時のその一般化運動量p^n = \alpha_nに共役な一般化座標q^nはラグランジアンに陽に含まれない。一般化運動量が定数なのだから、系の運動は状態空間の一つ次元の落ちた超曲面上に限定される。ラグラジアンは第一積分の数だけ自由度を減らすことができ、それをラウシアンまたは修正ラグランジアンと呼ぶ。この関数は、\dot q^n = \phi^n (\{q^i \}, \{\dot q^i \})（ただし i=1,2, \cdots ,n-1）を使えばR = L - \alpha_n \phi^nと書ける。

さて、物理法則は座標系に関係なく成り立つので、座標系に依らない形で記述出来ないか？という考察から、多様体上の微分形式でラグランジュ方程式を書いてみる。一般化運動量は共変ベクトル成分であることが分かるので、1形式\theta_L p_i dq^i = \frac{\partial L}{\partial \dot q^i} dq^iが導入できる。これの外微分をとると、d \theta_L = d(\frac{\partial L}{\partial \dot q^i}) \wedge dq^iとなる。これらをそれぞれ基本1形式、基本2形式と呼ぶ。この形式を使い、ラグランジュ方程式を書き直すと、<d\theta_L|\dot c_L,\bullet> = -dH_Lと書ける。これが幾何学的に表されたラグランジュ方程式である。

一般化速度の一次結合（接空間内での座標変換と呼んでも良いのかな。）を考える。これを \omega^l = \alpha ^l_i(q) \dot q^iと書く。ここで1形式\theta^l = \alpha^l_i dq^iの外微分が0となる時、ポアンカレの補題から\theta^l = dQ^lとなるQが存在する。これは、Q^l,\ \omega^l = \dot Q^lが一般化座標と一般化速度の組であることを示している。外微分d \theta^lが0とならない時にも、形式的にこれらを擬座標成分、擬速度成分と呼ぶ。

一般化座標と擬速度の組でラグランジュ方程式を書き直して、ポアンカレ方程式を得る。この方程式は、非ホロノミック拘束のある場合に有効である。

これまでの議論は、拘束力を消去した自由度の数だけの座標で書いたラグランジュ方程式についての議論だった。まず、ホロノミックな拘束を与えられた系について考える。自由度以上の座標と、拘束条件f^\mu (\bf{x}, t) =0をもつ系ではラグランジュ方程式は、\frac{d}{dt} (\frac{\partial L^0}{\partial \dot x^k})-\frac{\partial L^0}{\partial x^k} -\lambda_\mu \frac{\partial f^\mu}{\partial x^k}=0と書ける。拘束力は、\bf{F}_\alpha ' = \lambda_\mu \nabla_\alpha f^\mu (\bf{x}) = m_\alpha \ddot \bf{r}_\alpha +\nabla_\alpha U(\bf{x})で与えられる。

非ホロノミックな拘束でも、条件が微分量の一次式で与えられている場合はホロノミックな場合と同様に議論できる。この場合は、拘束はa^\mu_k dx^k + a^\mu_0 dt=0の形で与えられ、ラグランジュの方程式は\frac{d}{dt} (\frac{\partial L^0}{\partial \dot x^k}) -\frac{\partial L^0}{\partial x^k} = \lambda_\mu a^\mu_k となる。以上の2式から、x^kと\lambda_\muが決定される。擬座標を用いる方法もある。

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長い。。。

一回では書けなかったな。思い出すためにまた本読んだりしたし。非ホロノミックな拘束の部分は、二回読んで初めて理解できた。ただ、擬座標とポアンカレ方程式の部分は数式追っているだけでまだ理解していないな。例題やると分かるようになるのだろうか。でも今はまだ興味が沸かないので保留で。

この章で面白いと思ったのは、やっぱり多様体上でラグランジュ方程式を幾何的に書き直す所か。元の方程式の面影がまったく無くて驚くほどシンプルなのが凄いと思う。まだ、ありがたみがはっきりしないけど。

Written by tkf

October 6, 2007 at 9:57 pm

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